Author: B. Hatz
Last saved by: Rolf Reimer

Gymnasium | Mathematik			Stand 22.02.2000 | Jahrgangsstufe 12 und 13

Das Darstellen und Begründen sowie das Verhalten in Prüfungssituationen werden eingeübt, auch im Hinblick auf spätere mündliche Prüfungen.

< 20 >
Lehrplaneinheit 1:	Folgen, Grenzwerte und Beweisverfahren

Bei der Untersuchung von Folgen erfahren die Schülerinnen und Schüler die Notwendigkeit, ihre bisherige Vorstellung von Grenzprozessen zu präzisieren. Sie lernen eine formale Beschreibung des Infinitesimalen kennen und verstehen. So gewinnen sie eine vertiefte Einsicht in die Grundlagen der Analysis. Dazu trägt auch die Betrachtung verschiedener Beweisverfahren bei.

Folgen, rekursive Folgen | | |

Beweisverfahren 
Direkter Beweis, indirekter Beweis,
Beweis durch vollständige Induktion

Grenzwert einer Folge | | |
Konvergenz monotoner und beschränkter Folgen | | | Zusammenhang mit der Intervallschachtelung und der Vollständigkeit von IR
Grenzwerte von Funktionen | | |

⯎	Möglichkeit für Schülerreferate:
		Historische Texte
		Anwendung von Folgen, zum Beispiel Reihen,
		Folgen der fraktalen Geometrie,
		numerische Bestimmung der eulerschen Zahl e
		Leonhard Euler (1707 - 1783)
🡪	D: Methoden der Erarbeitung und des Vortragens 		eines Referats

⯎	Möglichkeiten für projektorientiertes Arbeiten:
		Fibonacci (B, Bk)

< 15 >
Lehrplaneinheit 2:	Einführung in die Integralrechnung

Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass der Zusammenhang zwischen der Integral- und Differenzialrechnung den Zusammenhang zwischen einer Größe und ihrer Änderung beschreibt. Bei der Einführung des Integrals erfahren sie erneut die Tragweite des Grenzwertbegriffs.

Stammfunktion | | |
Integral, Integralfunktion | | | Verschiedene Aspekte des Integralbegriffs, auch Mittelung Die Deutung als Flächeninhalt steht nicht im Vordergrund.
Eigenschaften des Integrals | | |
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung | | |

< 36 >
Lehrplaneinheit 3:	Weiterführung der Differenzial- und Integralrechnung im Bereich ausgewählter Funktionen

Die Methoden der Differenzial- und Integralrechnung werden weiterentwickelt. So finden die Schülerinnen und Schüler Zugang zu weiteren wichtigen Funktionsklassen und lernen ihre charakteristischen Eigenschaften kennen. Damit erwerben sie die Kompetenz, umgekehrt konkrete Situationen zu mathematisieren. Sie stellen ihre Bearbeitung übersichtlich, logisch richtig und sprachlich korrekt dar.

Produkt- und Quotientenregel | | | Durch den Einsatz des grafikfähigen Taschenrechners reduziert sich der unterrichtliche Stellenwert vollständiger Kurvendiskussionen.
Verkettung von Funktionen, Kettenregel | | |
Integration durch lineare Substitution | | | Die Arbeit am Rechner ermöglicht selbstständiges Entdecken wichtiger Eigenschaften der Funktionsklassen.

Von den folgenden zwei Wahlmodulen
ist eines zu behandeln

W	Gebrochen-rationale Funktionen | | | 🡪	Ph: Coulombsches Gesetz
W	Trigonometrische Funktionen | | | 🡪	Ph: Mechanische Schwingungen, elektromagnetische Induktion, elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Exponentialfunktionen | | |
Untersuchung zusammengesetzter Funktionen | | |

< 25 >
Lehrplaneinheit 4:	Mathematik in der Praxis: Anwendungen der Differenzial- und 
Integralrechnung

Anhand zahlreicher Beispiele gewinnen die Schülerinnen und Schüler Einblick in den Anwendungsaspekt der Mathematik und erkennen damit die tragende Bedeutung mathematischer Methoden und Verfahren zur Lösung vieler realer Probleme. Insbesondere werden sie sich der einzelnen Schritte des Modellierens bewusst: Problembeschreibung, mathematische Modellierung, Durchführung der Modellrechnung, Interpretation, Modellkritik. Numerische Verfahren erlauben ihnen nun auch Antworten in den Fällen zu geben, die sie geschlossen nicht lösen können.
Als Abrundung ihrer bisherigen Möglichkeiten schließen sie auch aus dem Änderungsverhalten von Größen auf deren funktionale Abhängigkeit. Die angewandten Arbeitsmethoden, auch der Umgang mit den entsprechenden Hilfsmitteln, führen die Schülerinnen und Schüler an die Grundlagen wissenschaftlicher Arbeit heran.

| | | An eine isolierte Behandlung dieser Unterrichtseinheit ist nicht gedacht.
Newtonsches Näherungsverfahren | | |
Keplersche Regel | | | ⯎	Schülerreferat: Johannes Kepler (1571 - 1630)
Anwendungen des Integrals | | | 🡪	Ph: Effektivwerte, Energie in Feldern
Wachstums- und Zerfallsprozesse | | |
Die Differenzialgleichungen für natürliches und beschränktes Wachstum | | |

Offene Problemstellungen

Funktionen in realem Bezug, Approximation,
Beispiele aus Naturwissenschaften, Technik, Gesellschaft und Umwelt,
⯎	selbstständige Bearbeitung von Beispielen aus 	verschiedenen Sachgebieten in Form von 	Schülerreferaten oder als Gruppenpuzzle

⯎	Möglichkeiten für projektorientiertes Arbeiten: 			Modellierung zum Beispiel einer Bogenbrücke
		(D, G, Ek)
		Differenzialgleichungen, Dynamische Prozesse 			(Ph, B, 	Ch, Gk, Sp)

Lehrplaneinheit 5:	Lineare Gleichungssysteme, Vektoren
< 16 >

Mit den linearen Gleichungssystemen lernen die Schülerinnen und Schüler ein zentrales Gebiet der Mathematik kennen, das in vielen Bereichen von Wissenschaft, Wirtschaft und Gesellschaft unentbehrliche Hilfsmittel bereitstellt. Sie wenden den gaußschen Algorithmus zur Berechnung der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems sicher und gewandt an. Die erworbenen Kenntnisse setzen sie bei der Behandlung realer Probleme aus unterschiedlichen Fachgebieten ein. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit Vektoren im Anschauungsraum und werden mit ihnen vertraut.

Gauß-Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme (LGS) | | | ⯎	Schülerreferat: Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
Lineare Gleichungssysteme in realem Bezug | | | Bei Anwendungen genügt es oft, das LGS mit Hilfe des Rechners zu lösen. Im Vordergrund steht das Modellieren.
Vektoren im Anschauungsraum | | |
Linearkombinationen | | |
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit | | |

⯎	Möglichkeiten für projektorientiertes Arbeiten:
		Vektorraumstruktur, Beispiele in verschiedenem 		Kontext
		Mehrstufige Prozesse (Gk, B)

< 25 >
Lehrplaneinheit 6:	Affine Geometrie im Anschauungsraum

Die Schülerinnen und Schüler erfahren, wie sich Geraden und Ebenen im Raum durch einfache Gleichungen darstellen lassen. Die Verwendung von Vektoren ermöglicht es ihnen, geometrische Fragestellungen nach Parallelität, Inzidenz und Teilverhältnissen mit Hilfe eines geeignet gewählten Koordinatensystems durch einfache rechnerische Verfahren zu beantworten. Sie sollen räumlich-geometrische Sachverhalte in Schrägbildern veranschaulichen können. Sie erleben am Beispiel von Sätzen aus der affinen Geometrie die Eleganz vektorieller Beweismethoden und lernen, solche Beweise selbst zu finden und zu führen.

Affines Koordinatensystem | | |
Gleichungen von Gerade und Ebene | | |
Veranschaulichung im Schrägbild | | |
Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen | | | ⯎	Geeignet für eine selbstständige Erarbeitung zum 	Beispiel in Form einer Planarbeit oder Gruppenarbeit
Bestimmung von Teilverhältnissen | | |
Beweisverfahren bei Sätzen der affinen Geometrie | | | Verfahren der geschlossenen Vektorkette
| | | ⯎	Möglichkeiten für projektorientiertes Arbeiten: 			Beweismethoden, verschiedene Beweise für 			denselben Satz

< 20 >
Lehrplaneinheit 7:	Metrische Geometrie im Anschauungsraum

Während bisher Lage und Inzidenz im Vordergrund der Betrachtungen standen, interessieren jetzt metrische Fragestellungen. Die Schülerinnen und Schüler begreifen das Skalarprodukt als wertvolles Werkzeug, das durch seine Einfachheit besticht und viele Anwendungen in Mathematik und Physik zulässt. Sie erleben, wie die Raumgeometrie durch den Einsatz vektorieller Methoden angemessen beschrieben und erforscht werden kann. Sie lernen deshalb die zur Verfügung stehenden Hilfsmittel sicher und sachgerecht zu verwenden. Ihre Fähigkeiten, selbstständig Beweise zu führen, werden auf Sätze der metrischen Geometrie erweitert.

| | | ⯎	Geeignet für eine selbstständige Erarbeitung zum 	Beispiel in Form einer Planarbeit oder Gruppenarbeit
Betrag eines Vektors | | |
Skalarprodukt und seine Eigenschaften | | |
Normalenform der Ebenengleichung | | |
Abstände und Winkel | | | Darstellen und Bewerten verschiedener Lösungswege
Beweisverfahren bei Sätzen der euklidischen Geometrie | | |

< 5 >
Lehrplaneinheit 8:	Selbstorganisiertes Lernen (Seminararbeit)

Einzelne Schülerinnen und Schüler bearbeiten allein oder im Team selbstständig ein Thema. Dabei kommt es besonders auf die Dokumentation und die Präsentation der Ergebnisse an.

Beschreibung von Aufgabenstellung und Erwartungshorizont Methoden selbstständigen Erarbeitens Präsentation der Ergebnisse | | | ⯎	Gedacht ist an eine außerunterrichtliche Bearbeitung. 	Die Ergebnisse werden an geeigneten Stellen im 	Unterricht präsentiert.
| | | Vorschläge von Sachgebieten, aus denen Teilaspekte bearbeitet werden können:
| | | Nicht gewähltes Alternativgebiet aus Jahrgangsstufe 12
| | | Themen der Vorschläge für projektorientiertes 	Arbeiten aus Jahrgangsstufe 12 und 13
| | | Anwendungen in verschiedenen Lebensbereichen und 	Wissenschaften
| | | Grenzwertidee
| | | Umkehrung von Funktionen
| | | Geschichte der Mathematik
| | | Wahrscheinlichkeitsverteilungen
| | | Taylor-Reihe
| | | Algebraische Kurven
| | | Mathematik und Verkehr
| | | Für die Zeit nach dem schriftlichen Abitur eignen sich folgende Themen:
| | | Analytische Geometrie der Kugel
| | | Affine Abbildungen
| | | Kegelschnitte
| | | Komplexe Zahlen
| | | Numerische Mathematik
| | | Elementare Zahlentheorie
| | | Chaos und Fraktale
| | | Markoff-Ketten